家庭作业

必做、

• 希蒙发积分
• 惆怅的希蒙
• 最大子矩阵和plus

提高

• 希蒙的防疫矩阵
• 绿化达人希蒙

前缀和

作用：当程序需要大量计算数列中某一段数字之和的时候，可以通过前缀和算法优化查询的时间复杂度。

预处理：O(n)

查询：O(1)

原理：前缀和就是从位置1到位置i这个区间内的所有的数字之和，那么求l~r中的数字和，相当于用 1~r的数字和 减去 1~(l-1)的数字和，剩余的和即为l~r的数字和。

for (int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 前缀和预处理算式
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]); // 前缀和查询区间和的计算

二维前缀和

作用：当程序需要大量计算数列中某一段数字之和的时候，可以通过前缀和算法优化查询的时间复杂度。

预处理：O(n*m)

查询：O(1)

原理：

紫色面积是指$(1, 1)$左上角到$(i, j - 1)$右下角的矩形面积, 绿色面积是指$(1, 1)$左上角到$(i - 1, j )$右下角的矩形面积。每一个颜色的矩形面积都代表了它所包围元素的和。

从图中我们很容易看出，整个外围蓝色矩形面积$s[i][j]$ = 绿色面积$[i - 1][j]$ + 紫色面积$s[i][j - 1]$ - 重复加的红色的面积$s[i - 1][j - 1]$ + 小方块的面积$a[i][j]$;

因此得出二维前缀和预处理公式

$s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1 ] + a[i] [j] - s[i - 1][j - 1]$

现在要求求以$(x1,y1)$为左上角和以$(x2,y2)$为右下角的矩阵的元素的和。

紫色面积是指$(1, 1)$左上角到$(x1 - 1, y2)$右下角的矩形面积 ，黄色面积是指$(1, 1)$左上角到$(x2, y1 - 1)$右下角的矩形面积；

绿色矩形的面积 = 整个外围面积$s[x2, y2]$ - 黄色面积$s[x2, y1 - 1]$ - 紫色面积$s[x1 - 1, y2]$ + 重复减去的红色面积 $s[x1 - 1, y1 - 1]$

因此二维前缀和的结论为：

以$(x1, y1)$为左上角，$(x2, y2)$为右下角的子矩阵的和为： $s[x2, y2] - s[x1 - 1, y2] - s[x2, y1 - 1] + s[x1 - 1, y1 - 1]$

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];  //二维前缀和预处理公式
int x1, y1, x2, y2;
scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]); //二维前缀和查询区间的计算